思考并回答以下问题：

本章内容

学习使用新的数据结构图来建立网络模型。
学习广度优先搜索，你可对图使用这种算法回答诸如“到X的最短路径是什么”等问题。
学习有向图和无向图。
学习拓扑排序，这种排序算法指出了节点之间的依赖关系。

本章将介绍图。首先，我将说说什么是图（它们不涉及X轴和Y轴），再介绍第一种图算法——广度优先搜索（breadth-first search，BFS）。

广度优先搜索让你能够找出两样东西之间的最短距离，不过最短距离的含义有很多！使用广度优先搜索可以：

编写国际跳棋AI，计算最少走多少步就可获胜；
编写拼写检查器，计算最少编辑多少个地方就可将错拼的单词改成正确的单词，如将READED改为READER需要编辑一个地方；
根据你的人际关系网络找到关系最近的医生。

在我所知道的算法中，图算法应该是最有用的。请务必仔细阅读接下来的几章，这些算法你将经常用到。

图简介

假设你居住在旧金山，要从双子峰前往金门大桥。你想乘公交车前往，并希望换乘最少。可乘坐的公交车如下。

为找出换乘最少的乘车路线，你将使用什么样的算法？

一步就能到达金门大桥吗？下面突出了所有一步就能到达的地方。

金门大桥未突出，因此一步无法到达那里。两步能吗？

金门大桥也未突出，因此两步也到不了。三步呢？

金门大桥突出了！因此从双子峰出发，可沿下面的路线三步到达金门大桥。

还有其他前往金门大桥的路线，但它们更远（需要四步）。这个算法发现，前往金门大桥的最短路径需要三步。这种问题被称为最短路径问题（shorterst-path problem）。你经常要找出最短路径，这可能是前往朋友家的最短路径，也可能是国际象棋中把对方将死的最少步数。解决最短路径问题的算法被称为广度优先搜索。

要确定如何从双子峰前往金门大桥，需要两个步骤。

(1) 使用图来建立问题模型。

(2) 使用广度优先搜索解决问题。

下面介绍什么是图，然后再详细探讨广度优先搜索。

图是什么

图模拟一组连接。例如，假设你与朋友玩牌，并要模拟谁欠谁钱，可像下面这样指出Alex欠Rama钱。

完整的欠钱图可能类似于下面这样。

指出谁欠谁钱的图

Alex欠Rama钱，Tom欠Adit钱，等等。图由节点（node）和边（edge）组成。

就这么简单！图由节点和边组成。一个节点可能与众多节点直接相连，这些节点被称为邻居。在前面的欠钱图中，Rama是Alex的邻居。Adit不是Alex的邻居，因为他们不直接相连。但Adit既是Rama的邻居，又是Tom的邻居。

图用于模拟不同的东西是如何相连的。下面来看看广度优先搜索。

广度优先搜索

第1章介绍了一种查找算法——二分查找。广度优先搜索是一种用于图的查找算法，可帮助回答两类问题。

第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？
第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？

前面计算从双子峰前往金门大桥的最短路径时，你使用过广度优先搜索。这个问题属于第二类问题：哪条路径最短？下面来详细地研究这个算法，你将使用它来回答第一类问题：有路径吗？

假设你经营着一个芒果农场，需要寻找芒果销售商，以便将芒果卖给他。在Facebook，你与芒果销售商有联系吗？为此，你可在朋友中查找。

这种查找很简单。首先，创建一个朋友名单。

然后，依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。

假设你没有朋友是芒果销售商，那么你就必须在朋友的朋友中查找。

检查名单中的每个人时，你都将其朋友加入名单。

这样一来，你不仅在朋友中查找，还在朋友的朋友中查找。别忘了，你的目标是在你的人际关系网中找到一位芒果销售商。因此，如果Alice不是芒果销售商，就将其朋友也加入到名单中。这意味着你将在她的朋友、朋友的朋友等中查找。使用这种算法将搜遍你的整个人际关系网，直到找到芒果销售商。这就是广度优先搜索算法。

查找最短路径

再说一次，广度优先搜索可回答两类问题。

第一类问题：从节点A出发，有前往节点B的路径吗？（在你的人际关系网中，有芒果销售商吗？）
第二类问题：从节点A出发，前往节点B的哪条路径最短？（哪个芒果销售商与你的关系最近？）

刚才你看到了如何回答第一类问题，下面来尝试回答第二类问题——谁是关系最近的芒果销售商。例如，朋友是一度关系，朋友的朋友是二度关系。

在你看来，一度关系胜过二度关系，二度关系胜过三度关系，以此类推。因此，你应先在一度关系中搜索，确定其中没有芒果销售商后，才在二度关系中搜索。广度优先搜索就是这样做的！在广度优先搜索的执行过程中，搜索范围从起点开始逐渐向外延伸，即先检查一度关系，再检查二度关系。顺便问一句：将先检查Claire还是Anuj呢？Claire是一度关系，而Anuj是二度关系，因此将先检查Claire，后检查Anuj。

你也可以这样看，一度关系在二度关系之前加入查找名单。

你按顺序依次检查名单中的每个人，看看他是否是芒果销售商。这将先在一度关系中查找，再在二度关系中查找，因此找到的是关系最近的芒果销售商。广度优先搜索不仅查找从A到B的路径，而且找到的是最短的路径。

注意，只有按添加顺序查找时，才能实现这样的目的。换句话说，如果Claire先于Anuj加入名单，就需要先检查Claire，再检查Anuj。如果Claire和Anuj都是芒果销售商，而你先检查Anuj再检查Claire，结果将如何呢？找到的芒果销售商并非是与你关系最近的，因为Anuj是你朋友的朋友，而Claire是你的朋友。因此，你需要按添加顺序进行检查。有一个可实现这种目的的数据结构，那就是队列（queue）。

队列

队列的工作原理与现实生活中的队列完全相同。假设你与朋友一起在公交车站排队，如果你排在他前面，你将先上车。队列的工作原理与此相同。队列类似于栈，你不能随机地访问队列中的元素。队列只支持两种操作：入队和出队。

如果你将两个元素加入队列，先加入的元素将在后加入的元素之前出队。因此，你可使用队列来表示查找名单！这样，先加入的人将先出队并先被检查。

队列是一种先进先出（First In First Out，FIFO）的数据结构，而栈是一种后进先出（Last In First Out，LIFO）的数据结构。

知道队列的工作原理后，我们来实现广度优先搜索！

练习

对于下面的每个图，使用广度优先搜索算法来找出答案。

1.找出从起点到终点的最短路径的长度。

2.找出从cab到bat的最短路径的长度。

实现图

首先，需要使用代码来实现图。图由多个节点组成。

每个节点都与邻近节点相连，如果表示类似于“你→Bob”这样的关系呢？好在你知道的一种结构让你能够表示这种关系，它就是散列表！

记住，散列表让你能够将键映射到值。在这里，你要将节点映射到其所有邻居。

表示这种映射关系的Python代码如下。

1 2	graph = {} graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]

注意，“你”被映射到了一个数组，因此graph[“you”]是一个数组，其中包含了“你”的所有邻居。

图不过是一系列的节点和边，因此在Python中，只需使用上述代码就可表示一个图。那像下面这样更大的图呢？

表示它的Python代码如下。

graph = {}
graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]
graph["bob"] = ["anuj", "peggy"]
graph["alice"] = ["peggy"]
graph["claire"] = ["thom", "jonny"]
graph["anuj"] = []
graph["peggy"] = []
graph["thom"] = []
graph["jonny"] = []

顺便问一句：键 — 值对的添加顺序重要吗？换言之，如果你这样编写代码：

1 2	graph["claire"] = ["thom", "jonny"] graph["anuj"] = []

而不是这样编写代码：

1 2	graph["anuj"] = [] graph["claire"] = ["thom", "jonny"]

对结果有影响吗？

只要回顾一下前一章介绍的内容，你就知道没影响。散列表是无序的，因此添加键 — 值对的顺序无关紧要。

Anuj、Peggy、Thom和Jonny都没有邻居，这是因为虽然有指向他们的箭头，但没有从他们
出发指向其他人的箭头。这被称为有向图（directed graph），其中的关系是单向的。因此，Anuj是Bob的邻居，但Bob不是Anuj的邻居。无向图（undirected graph）没有箭头，直接相连的节点互为邻居。例如，下面两个图是等价的。

实现算法

先概述一下这种算法的工作原理。

说明
更新队列时，我使用术语“入队”和“出队”，但你也可能遇到术语“压入”和“弹出”。压入大致相当于入队，而弹出大致相当于出队。

首先，创建一个队列。在Python中，可使用函数deque来创建一个双端队列。

from collections import deque

search_queue = deque()       # 创建一个队列
search_queue += graph["you"] # 将你的邻居都加入到这个搜索队列中

别忘了，graph[“you”]是一个数组，其中包含你的所有邻居，如[“alice”,”bob”,”claire”] 。这些邻居都将加入到搜索队列中。

下面来看看其他的代码。

while search_queue:  #只要队列不为空
    person = search_queue.popleft() # 就取出其中的第一个人
    if person_is_seller(person): # 检查这个人是否是芒果销售商
        print person + " is a mango seller!" # 是芒果销售商
        return True
    else:
        search_queue += graph[person] # 不是芒果销售商。将这个人的朋友都加入搜索队列

return False # 如果到达了这里，就说明队列中没人是芒果销售商

最后，你还需编写函数 person_is_seller ，判断一个人是不是芒果销售商，如下所示。

1 2	def person_is_seller(name): return name[-1] == 'm'

这个函数检查人的姓名是否以m结尾：如果是，他就是芒果销售商。这种判断方法有点搞笑，但就这个示例而言是可行的。下面来看看广度优先搜索的执行过程。

这个算法将不断执行，直到满足以下条件之一：

找到一位芒果销售商；
队列变成空的，这意味着你的人际关系网中没有芒果销售商。

Peggy既是Alice的朋友又是Bob的朋友，因此她将被加入队列两次：一次是在添加Alice的朋友时，另一次是在添加Bob的朋友时。因此，搜索队列将包含两个Peggy。

但你只需检查Peggy一次，看她是不是芒果销售商。如果你检查两次，就做了无用功。因此，检查完一个人后，应将其标记为已检查，且不再检查他。

如果不这样做，就可能会导致无限循环。假设你的人际关系网类似于下面这样。

一开始，搜索队列包含你的所有邻居。

现在你检查Peggy。她不是芒果销售商，因此你将其所有邻居都加入搜索队列。

接下来，你检查自己。你不是芒果销售商，因此你将你的所有邻居都加入搜索队列。

以此类推。这将形成无限循环，因为搜索队列将在包含你和包含Peggy之间反复切换。

检查一个人之前，要确认之前没检查过他，这很重要。为此，你可使用一个列表来记录检查过的人。

考虑到这一点后，广度优先搜索的最终代码如下。

def search(name):
    search_queue = deque()
    search_queue += graph[name]
    searched = [] # 这个数组用于记录检查过的人

    while search_queue:
        person = search_queue.popleft()
        if not person in searched: # 仅当这个人没检查过时才检查
            if person_is_seller(person):
                print person + " is a mango seller!"
                return True
            else:
                search_queue += graph[person]
                searched.append(person) # 将这个人标记为检查过
    return False

search("you")