思考并回答以下问题：

本章内容

继续图的讨论，介绍加权图——提高或降低某些边的权重。
介绍狄克斯特拉算法，让你能够找出加权图中前往X的最短路径。
介绍图中的环，它导致狄克斯特拉算法不管用。

在前一章，你找出了从A点到B点的路径。

这是最短路径，因为段数最少——只有三段，但不一定是最快路径。如果给这些路段加上时间，你将发现有更快的路径。

你在前一章使用了广度优先搜索，它找出的是段数最少的路径（如第一个图所示）。如果你要找出最快的路径（如第二个图所示），该如何办呢？为此，可使用另一种算法——狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）。

使用狄克斯特拉算法

下面来看看如何对下面的图使用这种算法。

其中每个数字表示的都是时间，单位分钟。为找出从起点到终点耗时最短的路径，你将使用狄克斯特拉算法。

如果你使用广度优先搜索，将得到下面这条段数最少的路径。

这条路径耗时7分钟。下面来看看能否找到耗时更短的路径！狄克斯特拉算法包含4个步骤。

(1) 找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点。

(2) 更新该节点的邻居的开销，其含义将稍后介绍。

(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

(4) 计算最终路径。

第一步：找出最便宜的节点。你站在起点，不知道该前往节点A还是前往节点B。前往这两个节点都要多长时间呢？

前往节点A需要6分钟，而前往节点B需要2分钟。至于前往其他节点，你还不知道需要多长时间。

由于你还不知道前往终点需要多长时间，因此你假设为无穷大（这样做的原因你马上就会明白）。节点B是最近的——2分钟就能达到。

第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间。

你刚找到了一条前往节点A的更短路径！直接前往节点A需要6分钟。

但经由节点B前往节点A只需5分钟！

对于节点B的邻居，如果找到前往它的更短路径，就更新其开销。在这里，你找到了：

前往节点A的更短路径（时间从6分钟缩短到5分钟）；
前往终点的更短路径（时间从无穷大缩短到7分钟）。

第三步：重复！

重复第一步：找出可在最短时间内前往的节点。你对节点B执行了第二步，除节点B外，可在最短时间内前往的节点是节点A。

重复第二步：更新节点A的所有邻居的开销。

你发现前往终点的时间为6分钟！

你对每个节点都运行了狄克斯特拉算法（无需对终点这样做）。现在，你知道：

前往节点B需要2分钟；
前往节点A需要5分钟；
前往终点需要6分钟。

最后一步——计算最终路径将留到下一节去介绍，这里先直接将最终路径告诉你。

如果使用广度优先搜索，找到的最短路径将不是这条，因为这条路径包含3段，而有一条从起点到终点的路径只有两段。

在前一章，你使用了广度优先搜索来查找两点之间的最短路径，那时“最短路径”的意思是段数最少。在狄克斯特拉算法中，你给每段都分配了一个数字或权重，因此狄克斯特拉算法找出的是总权重最小的路径。

这里重述一下，狄克斯特拉算法包含4个步骤。

(1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。

(2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。

(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

(4) 计算最终路径。（下一节再介绍！）

术语

介绍其他狄克斯特拉算法使用示例前，先来澄清一些术语。

狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。

带权重的图称为加权图（weighted graph），不带权重的图称为非加权图（unweighted graph）。

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。图还可能有环，而环类似右面这样。

这意味着你可从一个节点出发，走一圈后又回到这个节点。假设在下面这个带环的图中，你要找出从起点到终点的最短路径。

绕环前行是否合理呢？你可以选择避开环的路径。

也可选择包含环的路径。

这两条路径都可到达终点，但环增加了权重。如果你愿意，甚至可绕环两次。

但每绕环一次，总权重都增加8。因此，绕环的路径不可能是最短的路径。

最后，还记得第6章对有向图和无向图的讨论吗？

无向图意味着两个节点彼此指向对方，其实就是环！

在无向图中，每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图（directed acyclic graph，DAG）。

换钢琴

术语介绍得差不多了，我们再来看一个例子！这是Rama，想拿一本乐谱换架钢琴。

Alex说：“这是我最喜欢的乐队Destroyer的海报，我愿意拿它换你的乐谱。如果你再加5美元，还可拿乐谱换我这张稀有的Rick Astley黑胶唱片。”Amy说：“哇，我听说这张黑胶唱片里有首非常好听的歌曲，我愿意拿我的吉他或架子鼓换这张海报或黑胶唱片。”

Beethoven惊呼：“我一直想要吉他，我愿意拿我的钢琴换Amy的吉他或架子鼓。”

太好了！只要再花一点点钱，Rama就能拿乐谱换架钢琴。现在他需要确定的是，如何花最
少的钱实现这个目标。我们来绘制一个图，列出大家的交换意愿。

这个图中的节点是大家愿意拿出来交换的东西，边的权重是交换时需要额外加多少钱。拿海报换吉他需要额外加30美元，拿黑胶唱片换吉他需要额外加15美元。Rama需要确定采用哪种路径将乐谱换成钢琴时需要支付的额外费用最少。为此，可以使用狄克斯特拉算法！别忘了，狄克斯特拉算法包含四个步骤。在这个示例中，你将完成所有这些步骤，因此你也将计算最终路径。

动手之前，你需要做些准备工作：创建一个表格，在其中列出每个节点的开销。这里的开销指的是达到节点需要额外支付多少钱。

在执行狄克斯特拉算法的过程中，你将不断更新这个表。为计算最终路径，还需在这个表中添加表示父节点的列。

这列的作用将稍后介绍。我们开始执行算法吧。

第一步：找出最便宜的节点。在这里，换海报最便宜，不需要支付额外的费用。还有更便宜的换海报的途径吗？这一点非常重要，你一定要想一想。Rama能够通过一系列交换得到海报，还能额外得到钱吗？想清楚后接着往下读。答案是不能，因为海报是Rama能够到达的最便宜的节点，没法再便宜了。下面提供了另一种思考角度。假设你要从家里去单位。

如果你走经过学校的路，到学校需要2分钟。如果你走经过停车场的路，到停车场需要6分钟。如果经停车场前往学校，能不能将时间缩短到少于2分钟呢？不可能，因为只前往停车场就超过2分钟了。另一方面，有没有能更快到达停车场的路呢？有。

这就是狄克斯特拉算法背后的关键理念：找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜的路径！

回到换钢琴的例子。换海报需要支付的额外费用最少。

第二步：计算前往该节点的各个邻居的开销。

现在的表中包含低音吉他和架子鼓的开销。这些开销是用海报交换它们时需要支付的额外费用，因此父节点为海报。这意味着，要到达低音吉他，需要沿从海报出发的边前行，对架子鼓来说亦如此。

再次执行第一步：下一个最便宜的节点是黑胶唱片——需要额外支付5美元。

再次执行第二步：更新黑胶唱片的各个邻居的开销。

你更新了架子鼓和吉他的开销！这意味着经“黑胶唱片”前往“架子鼓”和“吉他”的开销更低，因此你将这些乐器的父节点改为黑胶唱片。

下一个最便宜的是吉他，因此更新其邻居的开销。

你终于计算出了用吉他换钢琴的开销，于是你将其父节点设置为吉他。最后，对最后一个节点——架子鼓，做同样的处理。

如果用架子鼓换钢琴，Rama需要额外支付的费用更少。因此，采用最便宜的交换路径时，
Rama需要额外支付35美元。

现在来兑现前面的承诺，确定最终的路径。当前，我们知道最短路径的开销为35美元，但如何确定这条路径呢？为此，先找出钢琴的父节点。

钢琴的父节点为架子鼓，这意味着Rama需要用架子鼓来换钢琴。因此你就沿着这一边。

我们来看看需要沿哪些边前行。钢琴的父节点为架子鼓。

架子鼓的父节点为黑胶唱片。

因此Rama需要用黑胶唱片了换架子鼓。显然，他需要用乐谱来换黑胶唱片。通过沿父节点回溯，便得到了完整的交换路径。

下面是Rama需要做的一系列交换。

本章前面使用的都是术语最短路径的字面意思：计算两点或两人之间的最短路径。但希望这个示例让你明白：最短路径指的并不一定是物理距离，也可能是让某种度量指标最小。在这个示例中，最短路径指的是Rama想要额外支付的费用最少。这都要归功于狄克斯特拉！

负权边

在前面的交换示例中，Alex提供了两种可用乐谱交换的东西。

假设黑胶唱片不是Alex的，而是Sarah的，且Sarah愿意用黑胶唱片和7美元换海报。换句话说，换得Alex的海报后，Rama用它来换Sarah的黑胶唱片时，不但不用支付额外的费用，还可得7美元。对于这种情况，如何在图中表示出来呢？

从黑胶唱片到海报的边的权重为负！即这种交换让Rama能够得到7美元。现在，Rama有两种获得海报的方式。

第二种方式更划算——Rama可赚2美元！你可能还记得，Rama可以用海报换架子鼓，但现在有两种换得架子鼓的方式。

第二种方式的开销少2美元，他应采取这种方式。然而，如果你对这个图运行狄克斯特拉算法，Rama将选择错误的路径——更长的那条路径。如果有负权边，就不能使用狄克斯特拉算法。因为负权边会导致这种算法不管用。下面来看看对这个图执行狄克斯特拉算法的情况。首先，创建开销表。

接下来，找出开销最低的节点，并更新其邻居的开销。在这里，开销最低的节点是海报。根据狄克斯特拉算法，没有比不支付任何费用获得海报更便宜的方式。（你知道这并不对！）无论如何，我们来更新其邻居的开销。

现在，架子鼓的开销变成了35美元。

我们来找出最便宜的未处理节点。

更新其邻居的开销。

海报节点已处理过，这里却更新了它的开销。这是一个危险信号。节点一旦被处理，就意味着没有前往该节点的更便宜途径，但你刚才却找到了前往海报节点的更便宜途径！架子鼓没有任何邻居，因此算法到此结束，最终开销如下。

换得架子鼓的开销为35美元。你知道有一种交换方式只需33美元，但狄克斯特拉算法没有找到。这是因为狄克斯特拉算法这样假设：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。这种假设仅在没有负权边时才成立。因此，不能将狄克斯特拉算法用于包含负权边的图。在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法——贝尔曼福德算法（Bellman-Ford algorithm）。本书不介绍这种算法，你可以在网上找到其详尽的说明。

实现

下面来看看如何使用代码来实现狄克斯特拉算法，这里以下面的图为例。

要编写解决这个问题的代码，需要三个散列表。

随着算法的进行，你将不断更新散列表costs和parents。首先，需要实现这个图，为此可像第6章那样使用一个散列表。

1	graph = {}

在前一章中，你像下面这样将节点的所有邻居都存储在散列表中。

1	graph["you"] = ["alice", "bob", "claire"]

但这里需要同时存储邻居和前往邻居的开销。例如，起点有两个邻居——A和B。

如何表示这些边的权重呢？为何不使用另一个散列表呢？

1
2
3

graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

因此 graph[“start”] 是一个散列表。要获取起点的所有邻居，可像下面这样做。

1 2	>>> print graph["start"].keys() ["a", "b"]

有一条从起点到A的边，还有一条从起点到B的边。要获悉这些边的权重，该如何办呢？

>>> print graph["start"]["a"]
2
>>> print graph["start"]["b"]
6

下面来添加其他节点及其邻居。

graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
graph["fin"] = {} # 终点没有任何邻居

表示整个图的散列表类似于下面这样。

接下来，需要用一个散列表来存储每个节点的开销。

节点的开销指的是从起点出发前往该节点需要多长时间。你知道的，从起点到节点B需要2分钟，从起点到节点A需要6分钟（但你可能会找到所需时间更短的路径）。你不知道到终点需要多长时间。对于还不知道的开销，你将其设置为无穷大。在Python中能够表示无穷大吗？你可以这样做：

1	infinity = float("inf")

创建开销表的代码如下：

infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

还需要一个存储父节点的散列表：

创建这个散列表的代码如下：

parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

最后，你需要一个数组，用于记录处理过的节点，因为对于同一个节点，你不用处理多次。

1	processed = []

准备工作做好了，下面来看看算法。

我先列出代码，然后再详细介绍。代码如下。

node = find_lowest_cost_node(costs) # 在未处理的节点中找出开销最小的节点

while node is not None:  # 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
    cost = costs[node] 
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys(): # 遍历当前节点的所有邻居
        new_cost = cost + neighbors[n]
        if costs[n] > new_cost: # 如果经当前节点前往该邻居更近
            costs[n] = new_cost # 就更新该邻居的开销
            parents[n] = node # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
    processed.append(node) # 将当前节点标记为处理过
    node = find_lowest_cost_node(costs) # 找出接下来要处理的节点，并循环

这就是实现狄克斯特拉算法的Python代码！函数find_lowest_cost_node的代码稍后列出，我们先来看看这些代码的执行过程。

找出开销最低的节点。

获取该节点的开销和邻居。

遍历邻居。

每个节点都有开销。开销指的是从起点前往该节点需要多长时间。在这里，你计算从起点出发，经节点B前往节点A（而不是直接前往节点A）需要多长时间。

接下来对新旧开销进行比较。

找到了一条前往节点A的更短路径！因此更新节点A的开销。

这条新路径经由节点B，因此节点A的父节点改为节点B。

现在回到了for循环开头。下一个邻居是终点节点。

经节点B前往终点需要多长时间呢？

需要7分钟。终点原来的开销为无穷大，比7分钟长。

设置终点节点的开销和父节点。

你更新了节点B的所有邻居的开销。现在，将节点B标记为处理过。

找出接下来要处理的节点。

获取节点A的开销和邻居。

节点A只有一个邻居：终点节点。

当前，前往终点需要7分钟。如果经节点A前往终点，需要多长时间呢？

经节点A前往终点所需的时间更短！因此更新终点的开销和父节点。

处理所有的节点后，这个算法就结束了。希望前面对执行过程的详细介绍让你对这个算法有更深入的认识。函数 find_lowest_cost_node找出开销最低的节点，其代码非常简单，如下所示。

def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None

    for node in costs: # 遍历所有的节点
        cost = costs[node]
        if cost < lowest_cost and node not in processed: # 如果当前节点的开销更低且未处理过，
            lowest_cost = cost # 就将其视为开销最低的节点
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node

练习

1.在下面的各个图中，从起点到终点的最短路径的总权重分别是多少？

小结

广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
如果图中包含负权边，请使用贝尔曼福德算法。

答案

7.1 A为8；B为60；C使用狄克斯特拉算法无法找出最短路径，因为存在负权边。