思考并回答以下问题：

本章内容

学习散列表——最有用的基本数据结构之一。散列表用途广泛，本章将介绍其常见的用途。
学习散列表的内部机制：实现、冲突和散列函数。这将帮助你理解如何分析散列表的性能。

假设你在一家杂货店上班。有顾客来买东西时，你得在一个本子中查找价格。如果本子的内容不是按字母顺序排列的，你可能为查找苹果（apple）的价格而浏览每一行，这需要很长的时间。此时你使用的是第1章介绍的简单查找，需要浏览每一行。还记得这需要多长时间吗？O(n)。如果本子的内容是按字母顺序排列的，可使用二分查找来找出苹果的价格，这需要的时间更短，为O(log n)。

需要提醒你的是，运行时间O(n)和O(log n)之间有天壤之别！假设你每秒能够看10行，使用简单查找和二分查找所需的时间将如下。

你知道，二分查找的速度非常快。但作为收银员，在本子中查找价格是件很痛苦的事情，哪怕本子的内容是有序的。在查找价格时，你都能感觉到顾客的怒气。看来真的需要一名能够记住所有商品价格的雇员，这样你就不用查找了：问她就能马上知道答案。

不管商品有多少，这位雇员（假设她的名字为Maggie）报出任何商品的价格的时间都为O(1)，速度比二分查找都快。

真是太厉害了！如何聘到这样的雇员呢？

下面从数据结构的角度来看看。前面介绍了两种数据结构：数组和链表（其实还有栈，但栈并不能用于查找）。你可使用数组来实现记录商品价格的本子。

这种数组的每个元素包含两项内容：商品名和价格。如果将这个数组按商品名排序，就可使用二分查找在其中查找商品的价格。这样查找价格的时间将为O(log n)。然而，你希望查找商品价格的时间为O(1)，即你希望查找速度像Maggie那么快，这是散列函数的用武之地。

散列函数

散列函数是这样的函数，即无论你给它什么数据，它都还你一个数字。

如果用专业术语来表达的话，我们会说，散列函数“将输入映射到数字”。你可能认为散列函数输出的数字没什么规律，但其实散列函数必须满足一些要求。

它必须是一致的。例如，假设你输入apple时得到的是4，那么每次输入apple时，得到的都必须为4。如果不是这样，散列表将毫无用处。
它应将不同的输入映射到不同的数字。例如，如果一个散列函数不管输入是什么都返回1，它就不是好的散列函数。最理想的情况是，将不同的输入映射到不同的数字。

散列函数将输入映射为数字，这有何用途呢？你可使用它来打造你的“Maggie”！

为此，首先创建一个空数组。

你将在这个数组中存储商品的价格。下面来将苹果的价格加入到这个数组中。为此，将apple作为输入交给散列函数。

散列函数的输出为3，因此我们将苹果的价格存储到数组的索引3处。

下面将牛奶（milk）的价格存储到数组中。为此，将milk作为散列函数的输入。

散列函数的输出为0，因此我们将牛奶的价格存储在索引0处。

不断地重复这个过程，最终整个数组将填满价格。

现在假设需要知道鳄梨（avocado）的价格。你无需在数组中查找，只需将avocado作为输入交给散列函数。

它将告诉你鳄梨的价格存储在索引4处。果然，你在那里找到了。

散列函数准确地指出了价格的存储位置，你根本不用查找！之所以能够这样，具体原因如下。

散列函数总是将同样的输入映射到相同的索引。每次你输入avocado，得到的都是同一个数字。因此，你可首先使用它来确定将鳄梨的价格存储在什么地方，并在以后使用它来确定鳄梨的价格存储在什么地方。
散列函数将不同的输入映射到不同的索引。avocado映射到索引4，milk映射到索引0。每种商品都映射到数组的不同位置，让你能够将其价格存储到这里。
散列函数知道数组有多大，只返回有效的索引。如果数组包含5个元素，散列函数就不会返回无效索引100。

刚才你就打造了一个“Maggie”！你结合使用散列函数和数组创建了一种被称为散列表（hash table）的数据结构。散列表是你学习的第一种包含额外逻辑的数据结构。数组和链表都被直接映射到内存，但散列表更复杂，它使用散列函数来确定元素的存储位置。

在你将学习的复杂数据结构中，散列表可能是最有用的，也被称为散列映射、映射、字典和关联数组。散列表的速度很快！还记得第2章关于数组和链表的讨论吗？你可以立即获取数组中的元素，而散列表也使用数组来存储数据，因此其获取元素的速度与数组一样快。

你可能根本不需要自己去实现散列表，任一优秀的语言都提供了散列表实现。Python提供的散列表实现为字典，你可使用函数dict来创建散列表。

1	>>> book = dict() # 一个空的散列表

创建散列表book后，在其中添加一些商品的价格。

>>> book["apple"] = 0.67    
>>> book["milk"] = 1.49
>>> book["avocado"] = 1.49
>>> print book
{'avocado': 1.49, 'apple': 0.67, 'milk': 1.49}

非常简单！我们来查询鳄梨的价格。

1 2	>>> print book["avocado"] 1.49

散列表由键和值组成。在前面的散列表book中，键为商品名，值为商品价格。散列表将键
映射到值。

在下一节中，你将看到一些散列表使用示例。

练习

对于同样的输入，散列表必须返回同样的输出，这一点很重要。如果不是这样的，就无法找到你在散列表中添加的元素！

请问下面哪些散列函数是一致的？

1.f(x) = 1 <-无论输入是什么，都返回1

2.f(x) = rand() <-每次都返回一个随机数

3.f(x) = next_empty_slot() <-返回散列表中下一个空位置的索引

4.f(x) = len(x) <-将字符串的长度用作索引

应用案例

散列表用途广泛，本节将介绍几个应用案例。

将散列表用于查找

手机都内置了方便的电话簿，其中每个姓名都有对应的电话号码。

假设你要创建一个类似这样的电话簿，将姓名映射到电话号码。该电话簿需要提供如下功能。

添加联系人及其电话号码。
通过输入联系人来获悉其电话号码。

这非常适合使用散列表来实现！在下述情况下，使用散列表是很不错的选择。

创建映射。
查找。

创建电话簿非常容易。首先，新建一个散列表。

1	>>> phone_book = dict()

顺便说一句，Python提供了一种创建散列表的快捷方式——使用一对大括号。

1	>>> phone_book = {} # 与phone_book = dict()等效

下面在这个电话簿中添加一些联系人的电话号码。

1 2	>>> phone_book["jenny"] = 8675309 >>> phone_book["emergency"] = 911

这就成了！现在，假设你要查找Jenny的电话号码，为此只需向散列表传入相应的键。

1 2	>>> print phone_book["jenny"] 8675309 # Jenny的电话号码

如果要求你使用数组来创建电话簿，你将如何做呢？散列表让你能够轻松地模拟映射关系。

散列表被用于大海捞针式的查找。例如，你在访问像http://adit.io这样的网站时，计算机必须将adit.io转换为IP地址。

无论你访问哪个网站，其网址都必须转换为IP地址。

这不是将网址映射到IP地址吗？好像非常适合使用散列表啰！这个过程被称为DNS解析（DNS resolution），散列表是提供这种功能的方式之一。

防止重复

假设你负责管理一个投票站。显然，每人只能投一票，但如何避免重复投票呢？有人来投票时，你询问他的全名，并将其与已投票者名单进行比对。

如果名字在名单中，就说明这个人投过票了，因此将他拒之门外！否则，就将他的姓名加入到名单中，并让他投票。现在假设有很多人来投过了票，因此名单非常长。

每次有人来投票时，你都得浏览这个长长的名单，以确定他是否投过票。但有一种更好的办法，那就是使用散列表！

为此，首先创建一个散列表，用于记录已投票的人。

1	>>> voted = {}

有人来投票时，检查他是否在散列表中。

1	>>> value = voted.get("tom")

如果“tom”在散列表中，函数get将返回它；否则返回None。你可使用这个函数检查来投票的人是否投过票！

代码如下。

voted = {}

def check_voter(name):
    if voted.get(name):
        print "kick them out!"
    else:
        voted[name] = True
        print "let them vote!"

我们来测试几次。

>>> check_voter("tom")
let them vote!
>>> check_voter("mike")
let them vote!
>>> check_voter("mike")
kick them out!

首先来投票的是Tom，上述代码打印let them vote!。接着Mike来投票，打印的也是let them vote!。然后，Mike又来投票，于是打印的就是kick them out!。

别忘了，如果你将已投票者的姓名存储在列表中，这个函数的速度终将变得非常慢，因为它必须使用简单查找搜索整个列表。但这里将它们存储在了散列表中，而散列表让你能够迅速知道来投票的人是否投过票。使用散列表来检查是否重复，速度非常快。

将散列表用作缓存

来看最后一个应用案例：缓存。如果你在网站工作，可能听说过进行缓存是一种不错的做法。下面简要地介绍其中的原理。假设你访问网站facebook.com。

(1) 你向Facebook的服务器发出请求。

(2) 服务器做些处理，生成一个网页并将其发送给你。

(3) 你获得一个网页。

例如，Facebook的服务器可能搜集你朋友的最近活动，以便向你显示这些信息，这需要几秒钟的时间。作为用户的你，可能感觉这几秒钟很久，进而可能认为Facebook怎么这么慢！另一方面，Facebook的服务器必须为数以百万的用户提供服务，每个人的几秒钟累积起来就相当多了。为服务好所有用户，Facebook的服务器实际上在很努力地工作。有没有办法让Facebook的服务器少做些工作，从而提高Facebook网站的访问速度呢？

假设你有个侄女，总是没完没了地问你有关星球的问题。火星离地球多远？月球呢？木星呢？每次你都得在Google搜索，再告诉她答案。这需要几分钟。现在假设她老问你月球离地球多远，很快你就记住了月球离地球238 900英里。因此不必再去Google搜索，你就可以直接告诉她答案。这就是缓存的工作原理：网站将数据记住，而不再重新计算。

如果你登录了Facebook，你看到的所有内容都是为你定制的。你每次访问facebook.com，其服务器都需考虑你感兴趣的是什么内容。但如果你没有登录，看到的将是登录页面。每个人看到的登录页面都相同。Facebook被反复要求做同样的事情：“当我注销时，请向我显示主页。”有鉴于此，它不让服务器去生成主页，而是将主页存储起来，并在需要时将其直接发送给用户。

这就是缓存，具有如下两个优点。

用户能够更快地看到网页，就像你记住了月球与地球之间的距离时一样。下次你侄女再问你时，你就不用再使用Google搜索，立刻就可以告诉她答案。
Facebook需要做的工作更少。

缓存是一种常用的加速方式，所有大型网站都使用缓存，而缓存的数据则存储在散列表中！

Facebook不仅缓存主页，还缓存About页面、Contact页面、Terms and Conditions页面等众多其他的页面。因此，它需要将页面URL映射到页面数据。

当你访问Facebook的页面时，它首先检查散列表中是否存储了该页面。

具体的代码如下。

cache = {}

def get_page(url):
    if cache.get(url):
        return cache[url] # 返回缓存的数据
    else:
        data = get_data_from_server(url)
        cache[url] = data # 先将数据保存到缓存中
        return data

仅当URL不在缓存中时，你才让服务器做些处理，并将处理生成的数据存储到缓存中，再返回它。这样，当下次有人请求该URL时，你就可以直接发送缓存中的数据，而不用再让服务器进行处理了。

小结

这里总结一下，散列表适合用于：

模拟映射关系；
防止重复；
缓存/记住数据，以免服务器再通过处理来生成它们。

冲突

前面说过，大多数语言都提供了散列表实现，你不用知道如何实现它们。有鉴于此，我就不再过多地讨论散列表的内部原理，但你依然需要考虑性能！要明白散列表的性能，你得先搞清楚什么是冲突。本节和下一节将分别介绍冲突和性能。

首先，我撒了一个善意的谎。我之前告诉你的是，散列函数总是将不同的键映射到数组的不同位置。

实际上，几乎不可能编写出这样的散列函数。我们来看一个简单的示例。假设你有一个数组，它包含26个位置。

而你使用的散列函数非常简单，它按字母表顺序分配数组的位置。

你可能已经看出了问题。如果你要将苹果的价格存储到散列表中，分配给你的是第一个位置。

接下来，你要将香蕉的价格存储到散列表中，分配给你的是第二个位置。

一切顺利！但现在你要将鳄梨的价格存储到散列表中，分配给你的又是第一个位置。

不好，这个位置已经存储了苹果的价格！怎么办？这种情况被称为冲突（collision）：给两个键分配的位置相同。这是个问题。如果你将鳄梨的价格存储到这个位置，将覆盖苹果的价格，以后再查询苹果的价格时，得到的将是鳄梨的价格！冲突很糟糕，必须要避免。处理冲突的方式很多，最简单的办法如下：如果两个键映射到了同一个位置，就在这个位置存储一个链表。

在这个例子中，apple和avocado映射到了同一个位置，因此在这个位置存储一个链表。在需要查询香蕉的价格时，速度依然很快。但在需要查询苹果的价格时，速度要慢些：你必须在相应的链表中找到apple。如果这个链表很短，也没什么大不了——只需搜索三四个元素。但是，假设你工作的杂货店只销售名称以字母A打头的商品。

等等！除第一个位置外，整个散列表都是空的，而第一个位置包含一个很长的列表！换言之，这个散列表中的所有元素都在这个链表中，这与一开始就将所有元素存储到一个链表中一样糟糕：散列表的速度会很慢。

这里的经验教训有两个。


散列函数很重要。前面的散列函数将所有的键都映射到一个位置，而最理想的情况是，散列函数将键均匀地映射到散列表的不同位置。
如果散列表存储的链表很长，散列表的速度将急剧下降。然而，如果使用的散列函数很好，这些链表就不会很长！

散列函数很重要，好的散列函数很少导致冲突。那么，如何选择好的散列函数呢？这将在下一节介绍！

性能

本章开头是假设你在杂货店工作。你想打造一个让你能够迅速获悉商品价格的工具，而散列表的速度确实很快。

在平均情况下，散列表执行各种操作的时间都为O(1)。O(1)被称为常量时间。你以前没有见过常量时间，它并不意味着马上，而是说不管散列表多大，所需的时间都相同。例如，你知道的，简单查找的运行时间为线性时间。

二分查找的速度更快，所需时间为对数时间。

在散列表中查找所花费的时间为常量时间。

一条水平线，看到了吧？这意味着无论散列表包含一个元素还是10亿个元素，从其中获取数据所需的时间都相同。实际上，你以前见过常量时间——从数组中获取一个元素所需的时间就是固定的：不管数组多大，从中获取一个元素所需的时间都是相同的。在平均情况下，散列表的速度确实很快。

在最糟情况下，散列表所有操作的运行时间都为O(n)——线性时间，这真的很慢。我们来将散列表同数组和链表比较一下。

在平均情况下，散列表的查找（获取给定索引处的值）速度与数组一样快，而插入和删除速度与链表一样快，因此它兼具两者的优点！但在最糟情况下，散列表的各种操作的速度都很慢。因此，在使用散列表时，避开最糟情况至关重要。为此，需要避免冲突。而要避免冲突，需要有：

较低的填装因子；
良好的散列函数。

说明
接下来的内容并非必读的，我将讨论如何实现散列表，但你根本就不需要这样做。不管你使用的是哪种编程语言，其中都内置了散列表实现。你可使用内置的散列表，并假定其性能良好。下面带你去看看幕后的情况。

填装因子

散列表的填装因子很容易计算。

散列表使用数组来存储数据，因此你需要计算数组中被占用的位置数。例如，下述散列表的填装因子为2/5，即0.4。

下面这个散列表的填装因子为多少呢？

如果你的答案为1/3，那就对了。填装因子度量的是散列表中有多少位置是空的。

假设你要在散列表中存储100种商品的价格，而该散列表包含100个位置。那么在最佳情况下，每个商品都将有自己的位置。

这个散列表的填装因子为1。如果这个散列表只有50个位置呢？填充因子将为2。不可能让每种商品都有自己的位置，因为没有足够的位置！填装因子大于1意味着商品数量超过了数组的位置数。一旦填装因子开始增大，你就需要在散列表中添加位置，这被称为调整长度（resizing）。例如，假设有一个像下面这样相当满的散列表。

你就需要调整它的长度。为此，你首先创建一个更长的新数组：通常将数组增长一倍。

接下来，你需要使用函数 hash 将所有的元素都插入到这个新的散列表中。

这个新散列表的填装因子为3/8，比原来低多了！填装因子越低，发生冲突的可能性越小，散列表的性能越高。一个不错的经验规则是：一旦填装因子大于0.7，就调整散列表的长度。

你可能在想，调整散列表长度的工作需要很长时间！你说得没错，调整长度的开销很大，因此你不会希望频繁地这样做。但平均而言，即便考虑到调整长度所需的时间，散列表操作所需的时间也为O(1)。

良好的散列函数

良好的散列函数让数组中的值呈均匀分布。

糟糕的散列函数让值扎堆，导致大量的冲突。

什么样的散列函数是良好的呢？你根本不用操心——天塌下来有高个子顶着。如果你好奇，可研究一下SHA函数（本书最后一章做了简要的介绍）。你可将它用作散列函数。

练习

散列函数的结果必须是均匀分布的，这很重要。它们的映射范围必须尽可能大。最糟糕的散列函数莫过于将所有输入都映射到散列表的同一个位置。

假设你有四个处理字符串的散列函数。

A. 不管输入是什么，都返回1。

B. 将字符串的长度用作索引。

C. 将字符串的第一个字符用作索引。即将所有以a打头的字符串都映射到散列表的同一个位置，以此类推。

D. 将每个字符都映射到一个素数：a = 2，b = 3，c = 5，d = 7，e = 11，等等。对于给定的字符串，这个散列函数将其中每个字符对应的素数相加，再计算结果除以散列表长度的余数。例如，如果散列表的长度为10，字符串为 bag ，则索引为(3 + 2 + 17) % 10 = 22 % 10 = 2。

在下面的每个示例中，上述哪个散列函数可实现均匀分布？假设散列表的长度为10。

5.将姓名和电话号码分别作为键和值的电话簿，其中联系人姓名为Esther、Ben、Bob和Dan。

6.电池尺寸到功率的映射，其中电池尺寸为A、AA、AAA和AAAA。

6.书名到作者的映射，其中书名分别为Maus、Fun Home和Watchmen。

小结

你几乎根本不用自己去实现散列表，因为你使用的编程语言提供了散列表实现。你可使用Python提供的散列表，并假定能够获得平均情况下的性能：常量时间。

散列表是一种功能强大的数据结构，其操作速度快，还能让你以不同的方式建立数据模型。

你可能很快会发现自己经常在使用它。

你可以结合散列函数和数组来创建散列表。
冲突很糟糕，你应使用可以最大限度减少冲突的散列函数。
散列表的查找、插入和删除速度都非常快。
散列表适合用于模拟映射关系。
一旦填装因子超过0.7，就该调整散列表的长度。
散列表可用于缓存数据（例如，在Web服务器上）。
散列表非常适合用于防止重复。

答案

5.1 一致。
5.2 不一致。
5.3 不一致。
5.4 一致。
5.5 散列函数C和D可实现均匀分布。
5.6 散列函数B和D可实现均匀分布。
5.7 散列函数B、C和D可实现均匀分布。